Куб суммы - это алгебраическое выражение, представляющее результат возведения суммы двух слагаемых в третью степень. Данная формула широко применяется в математике, физике и инженерных расчетах.
Содержание
Формула куба суммы
Куб суммы двух выражений a и b вычисляется по формуле:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Доказательство формулы
- Представим куб суммы как произведение трех одинаковых скобок:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)
- Перемножим первые две скобки:
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²
- Умножим полученный результат на третью скобку:
(a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Примеры вычислений
| Пример | Решение |
| (x + 2)³ | x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8 |
| (3 + y)³ | 3³ + 3·3²·y + 3·3·y² + y³ = 27 + 27y + 9y² + y³ |
| (2a + 5b)³ | (2a)³ + 3·(2a)²·5b + 3·2a·(5b)² + (5b)³ = 8a³ + 60a²b + 150ab² + 125b³ |
Геометрическая интерпретация
Куб суммы можно представить как объем куба с ребром (a + b), который состоит из:
- Одного куба с ребром a (a³)
- Трех прямоугольных параллелепипедов размером a×a×b (3a²b)
- Трех прямоугольных параллелепипедов размером a×b×b (3ab²)
- Одного куба с ребром b (b³)
Применение формулы
| Область | Пример использования |
| Алгебра | Разложение многочленов, упрощение выражений |
| Геометрия | Вычисление объемов сложных фигур |
| Физика | Расчеты в термодинамике, механике |
| Экономика | Моделирование сложных процентных ставок |
Особые случаи
- При a = 1: (1 + b)³ = 1 + 3b + 3b² + b³
- При b = 1: (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1
- При a = b: (a + a)³ = 8a³
Связь с другими формулами
Формула куба суммы связана с другими алгебраическими тождествами:
- Куб разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
- Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- Разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Понимание и правильное применение формулы куба суммы позволяет эффективно решать широкий круг математических задач и упрощать сложные алгебраические выражения.
