Чему равен интеграл суммы функций

Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций. Это фундаментальное свойство интегрального исчисления, известное как свойство линейности интеграла.

Формулировка основного свойства

Для любых интегрируемых функций f(x) и g(x) на отрезке [a, b] выполняется равенство:

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Доказательство свойства

1. Рассмотрим интегральную сумму для функции f(x) + g(x)
2. По определению интеграла: ∫[f(x) + g(x)]dx = lim_n→∞ Σ[f(ξ_i) + g(ξ_i)]Δx_i
3. Разбиваем сумму на две части: lim Σf(ξ_i)Δx_i + lim Σg(ξ_i)Δx_i
4. Получаем: ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Обобщение на случай нескольких функций

Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:

∫[f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x)]dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx + ... + ∫f_n(x)dx

Примеры применения

Пример 1: Простейший случай

∫(x + x²)dx = ∫x dx + ∫x² dx = x²/2 + x³/3 + C

Пример 2: С тригонометрическими функциями

∫(sin x + cos x)dx = ∫sin x dx + ∫cos x dx = -cos x + sin x + C

Пример 3: С экспоненциальной функцией

∫(eˣ + 1/x)dx = ∫eˣ dx + ∫1/x dx = eˣ + ln|x| + C

Таблица интегралов основных функций

Применение в физике

• Вычисление работы переменной силы
• Определение центра масс
• Расчет электрического потенциала
• Решение задач механики сплошных сред

Ограничения свойства

• Функции должны быть интегрируемыми на заданном промежутке
• Свойство не распространяется на бесконечные суммы (ряды)
• Для несобственных интегралов требуется дополнительная проверка сходимости

Связь с дифференцированием

Свойство интеграла суммы соответствует аналогичному свойству производной:

(f + g)' = f' + g'

Таким образом, интегрирование и дифференцирование суммы функций - линейные операции.

Практическое значение

Это свойство позволяет:

• Упрощать сложные интегралы, разбивая их на простые
• Разрабатывать алгоритмы символьного интегрирования
• Решать дифференциальные уравнения
• Строить математические модели в естественных науках