Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций. Это фундаментальное свойство интегрального исчисления, известное как свойство линейности интеграла.
Содержание
Формулировка основного свойства
Для любых интегрируемых функций f(x) и g(x) на отрезке [a, b] выполняется равенство:
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Доказательство свойства
- Рассмотрим интегральную сумму для функции f(x) + g(x)
- По определению интеграла: ∫[f(x) + g(x)]dx = limn→∞ Σ[f(ξi) + g(ξi)]Δxi
- Разбиваем сумму на две части: lim Σf(ξi)Δxi + lim Σg(ξi)Δxi
- Получаем: ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Обобщение на случай нескольких функций
Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:
∫[f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)]dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx + ... + ∫fn(x)dx
Примеры применения
Пример 1: Простейший случай
∫(x + x²)dx = ∫x dx + ∫x² dx = x²/2 + x³/3 + C
Пример 2: С тригонометрическими функциями
∫(sin x + cos x)dx = ∫sin x dx + ∫cos x dx = -cos x + sin x + C
Пример 3: С экспоненциальной функцией
∫(eˣ + 1/x)dx = ∫eˣ dx + ∫1/x dx = eˣ + ln|x| + C
Таблица интегралов основных функций
| Функция | Интеграл |
| ∫xⁿ dx | xn+1/(n+1) + C (n ≠ -1) |
| ∫eˣ dx | eˣ + C |
| ∫1/x dx | ln|x| + C |
| ∫sin x dx | -cos x + C |
| ∫cos x dx | sin x + C |
Применение в физике
- Вычисление работы переменной силы
- Определение центра масс
- Расчет электрического потенциала
- Решение задач механики сплошных сред
Ограничения свойства
- Функции должны быть интегрируемыми на заданном промежутке
- Свойство не распространяется на бесконечные суммы (ряды)
- Для несобственных интегралов требуется дополнительная проверка сходимости
Связь с дифференцированием
Свойство интеграла суммы соответствует аналогичному свойству производной:
(f + g)' = f' + g'
Таким образом, интегрирование и дифференцирование суммы функций - линейные операции.
Практическое значение
Это свойство позволяет:
- Упрощать сложные интегралы, разбивая их на простые
- Разрабатывать алгоритмы символьного интегрирования
- Решать дифференциальные уравнения
- Строить математические модели в естественных науках
